数学
相似对角化（similar diagonalization）指的是对于一个方阵 \( A \)，找到一个可逆矩阵 \( P \) 使得：
\[ P^{-1} A P = D \]其中 \( D \) 是对角矩阵，即 \( A \) 在某个基底下的表示是对角矩阵。相似对角化的核心思想是找到 \( A \) 的一组线性无关的特征向量，并用它们构造变换矩阵 \( P \)。
相似对角化的步骤
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\[
\det(A - \lambda I) = 0
\]
得到所有特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \)。
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\[
(A - \lambda_i I)x = 0
\]
得到对应的特征向量。
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构造变换矩阵 \( P \) 和对角矩阵 \( D \)
- 如果 \( A \) 的 \( n \) 个特征向量线性无关（即特征向量构成一组基），则将这些特征向量按列排列成矩阵： \[ P = [v_1 \quad v_2 \quad \dots \quad v_n] \]
- 对角矩阵 \( D \) 的对角元素即为对应的特征值： \[ D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) \]
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验证相似对角化
验证 \( P^{-1} A P = D \) 是否成立。
相似对角化的条件
矩阵 \( A \) 可相似对角化当且仅当它具有 \( n \) 个线性无关的特征向量，即它的特征空间维数之和等于矩阵的阶数 \( n \)。
特别地：
- 若 \( A \) 具有 \( n \) 个不同的特征值，则一定可对角化。
- 若 \( A \) 具有重复特征值，则需检查对应的特征向量是否足够多（即代数重数 = 几何重数）。
- 若特征向量数目不够，则矩阵不可相似对角化（但可能可以相似成 Jordan 形式）。
示例
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} \]-
\[
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 6 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0
\]
解得特征值 \( \lambda_1 = 6, \lambda_2 = 1 \)。
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\[
(A - 6I)x = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 6 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0
\]
取 \( x_1 = 1 \)，解得 \( x_2 = 2 \)，对应特征向量 \( v_1 = (1,2)^T \)。
\[ (A - I)x = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \]取 \( x_1 = -1 \)，解得 \( x_2 = 3 \)，对应特征向量 \( v_2 = (-1,3)^T \)。
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\[
P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]\[
P^{-1} A P = D
\]
即完成对角化。
总结
- 计算特征值
- 计算特征向量
- 构造 \( P \) 和 \( D \)
- 验证 \( P^{-1} A P = D \)
- 需要 \( n \) 个线性无关的特征向量才能对角化
如果矩阵不可对角化，可以考虑 Jordan 形式。